미분 계산기란
미분 계산기는 함수의 도함수를 구하고 특정 지점의 순간변화율을 계산하는 도구입니다.
계산 기준
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] ÷ h
다항함수: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
단계별 계산 예제
f(x) = x³ − 3x 의 도함수와 x=2에서의 기울기는?
- 1단계 거듭제곱 미분 공식 적용: f\'(x) = 3x² − 3
- 2단계 x=2 대입: f\'(2) = 3×4 − 3
- 3단계 결과: 9
결과 해석: x=2 지점에서 그래프의 접선 기울기가 9라는 뜻입니다.
미분은 '순간의 속도'입니다
"지금 이 순간의 속도"는 시간 간격이 0이면 0으로 나누게 되는 문제가 생깁니다. 미분은 간격을 0으로 보내되, 0이 되기 직전까지만 가는 아이디어입니다. 그 극한값이 순간변화율이고, 그래프로는 접선의 기울기입니다.
알아두면 좋은 이야기
- 뉴턴과 라이프니츠가 거의 동시에 독립적으로 발견했고, 누가 먼저냐를 두고 수십 년간 논쟁이 벌어졌습니다.
- 결과적으로 표기법은 라이프니츠가 이겼습니다. dy/dx, ∫ 기호가 전부 라이프니츠 것입니다.
- 초기 미분은 논리적으로 엉성해서 철학자 버클리가 '사라진 양의 유령'이라고 조롱했습니다. 200년 뒤 극한의 엄밀한 정의로 해결됩니다.
- 최댓값·최솟값을 찾는 게 미분의 주 용도입니다. 기울기가 0이 되는 지점이 정상이나 골짜기입니다.
- AI 학습의 핵심도 미분입니다. 경사하강법이 바로 미분값을 따라 내려가는 방법입니다.
자주 묻는 질문
Q. 미분값이 0이면 무슨 뜻인가요?
접선이 수평이라는 뜻으로, 극대·극소 또는 변곡점일 수 있습니다.
Q. 미분이 안 되는 함수도 있나요?
뾰족한 점이나 끊긴 지점에서는 미분이 불가능합니다. |x|의 x=0이 대표적입니다.
Q. 2계도함수는 뭘 뜻하나요?
기울기의 변화율입니다. 위치를 두 번 미분하면 가속도가 나옵니다.