적분 계산기란
적분 계산기는 부정적분과 정적분을 계산해 넓이·누적량을 구하는 도구입니다.
계산 기준
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C(n≠−1)
정적분: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)
단계별 계산 예제
∫[0,2] x² dx (0부터 2까지 x²의 정적분)은?
- 1단계 부정적분 구하기: ∫x² dx = x³/3 + C
- 2단계 구간 대입: [x³/3]₀² = 2³/3 − 0³/3
- 3단계 결과: 8/3 ≈ 2.67
결과 해석: y=x² 곡선과 x축, x=0~2 사이의 넓이가 약 2.67이라는 뜻입니다.
적분은 '쌓아 올리기'입니다
미분이 쪼개는 것이라면, 적분은 잘게 쪼갠 것을 다시 더하는 것입니다. 곡선 아래 넓이를 직사각형으로 잘게 나눠 더하되, 폭을 0에 가깝게 만들면 오차가 사라집니다. 속도 그래프 아래 넓이가 이동 거리가 되는 것도 같은 원리입니다.
알아두면 좋은 이야기
- 미분과 적분이 서로 역연산이라는 게 미적분학의 기본정리입니다.
- ∫ 기호는 라틴어 summa(합)의 S를 길게 늘인 것입니다.
- 아르키메데스는 2,000년 전에 이미 적분의 아이디어를 썼습니다. 포물선 넓이를 무한히 많은 삼각형으로 채워 구했습니다(실진법).
- 적분상수 C를 빼먹는 것이 가장 흔한 실수입니다. 미분하면 상수가 사라지므로 원래 상수를 알 수 없어 C를 붙입니다.
- 모든 함수가 초등함수로 적분되지는 않습니다. e^(−x²)가 대표적이라, 정규분포 계산에 표를 씁니다.
자주 묻는 질문
Q. 적분상수 C는 왜 붙나요?
상수는 미분하면 사라지므로, 역연산에서는 원래 상수를 알 수 없어 C로 표기합니다.
Q. 정적분과 부정적분의 차이는요?
부정적분은 원시함수(C 포함), 정적분은 구간의 넓이로 하나의 숫자가 나옵니다.
Q. 넓이가 음수로 나올 수도 있나요?
x축 아래 부분은 음수로 계산됩니다. 실제 면적을 원하면 절댓값으로 처리해야 합니다.