이차방정식 계산기

실수 범위에서는 해가 없고, 복소수 범위에서는 두 개의 허근이 존재합니다.

인수분해가 되면 훨씬 빠릅니다. 안 될 때 근의 공식을 씁니다.

이차항이 사라져 일차방정식이 됩니다. 이차방정식이 성립하려면 a ≠ 0이어야 합니다.

이차방정식 계산기란

이차방정식 계산기는 ax² + bx + c = 0의 근을 판별식과 함께 구하는 도구입니다.

근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ 2a
판별식 D = b² − 4ac

x² − 5x + 6 = 0 을 풀어봅시다

결과 해석: 검산하면 (x−2)(x−3)=x²−5x+6으로 원래 식과 일치합니다.

근을 직접 구하지 않아도 판별식만으로 근의 개수와 성질이 결정됩니다. D>0이면 서로 다른 두 실근, D=0이면 중근, D<0이면 실근 없음(두 허근)입니다. √ 안이 음수가 되면 실수로는 답이 없어서, 여기서 허수(i)가 등장합니다.

근의 공식은 완전제곱꼴로 만들기의 결과물입니다. 외우는 공식이 아니라 유도되는 결론입니다.
바빌로니아 점토판(기원전 2000년경)에 이미 이차방정식 풀이가 있습니다. 다만 음수 개념이 없어 양수 해만 다뤘습니다.
비에트의 정리로 근을 안 구하고도 성질을 알 수 있습니다. 두 근의 합 = −b/a, 곱 = c/a입니다.
오차방정식부터는 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는다는 게 갈루아와 아벨에 의해 증명됐습니다. 갈루아는 결투 전날 밤 이론을 정리하고 20세에 죽었습니다.
포물선 궤적, 최적 가격 산출, 제동거리 등 최댓값·최솟값을 찾는 실무 문제가 대부분 이차식으로 귀결됩니다.

Q. 판별식이 음수면 답이 없는 건가요?

실수 범위에서는 해가 없고, 복소수 범위에서는 두 개의 허근이 존재합니다.

Q. 근의 공식을 안 쓰고 푸는 방법도 있나요?

인수분해가 되면 훨씬 빠릅니다. 안 될 때 근의 공식을 씁니다.

Q. a가 0이면 어떻게 되나요?

이차항이 사라져 일차방정식이 됩니다. 이차방정식이 성립하려면 a ≠ 0이어야 합니다.