수열 계산기란
수열 계산기는 등차수열·등비수열의 일반항과 합을 계산하는 도구입니다.
계산 기준
등차수열: aₙ = a₁ + (n−1)d, 합 Sₙ = n(a₁+aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, 합 Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r)
단계별 계산 예제
첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 10번째 항과 첫 10항의 합은?
- 1단계 10번째 항: a₁₀ = 3 + (10−1)×4 = 39
- 2단계 합 공식 적용: S₁₀ = 10×(3+39)÷2
- 3단계 S₁₀ = 10×42÷2 = 210
결과 해석: 첫 항과 마지막 항을 더해 항 개수의 절반을 곱하는 가우스의 방법 그대로입니다.
가우스의 초등학교 일화
초등학생 가우스에게 선생님이 1부터 100까지 더하라고 시켰는데, 몇 초 만에 5,050이라고 답했습니다. 양 끝을 짝지으면 1+100=101, 2+99=101… 항상 101이고 그런 쌍이 50개니 101×50=5,050. 이게 바로 Sₙ = n(첫항+끝항)/2 공식입니다.
알아두면 좋은 이야기
- 복리가 등비수열입니다. "복리는 세계 8번째 불가사의"라는 말도 등비수열의 폭발적 증가를 가리킵니다.
- 72의 법칙: 72를 이자율로 나누면 원금이 2배 되는 햇수가 대략 나옵니다. 연 6%면 12년입니다.
- 체스판과 쌀알 전설도 등비수열입니다. 64번째 칸에는 900경 알이 넘어 전 세계 쌀 생산량을 아득히 초과합니다.
- 피보나치 수열(1,1,2,3,5,8,13…)은 인접 항의 비가 황금비(1.618…)에 수렴합니다.
- 등비수열의 무한합은 공비가 1보다 작을 때만 수렴합니다. 0.9999…=1인 것도 이 원리로 증명됩니다.
자주 묻는 질문
Q. 등차와 등비는 어떻게 구분하나요?
연속한 항의 차이가 일정하면 등차, 비율이 일정하면 등비입니다.
Q. 공비가 1보다 크면 합이 무한대인가요?
항의 수가 무한하면 발산합니다. 유한 개수의 합은 공식으로 계산됩니다.
Q. 복리 계산에 어떤 수열을 쓰나요?
등비수열입니다. 매 기간 (1+이율)이 곱해집니다.