입체도형 부피·겉넓이 계산기란
입체도형 계산기는 직육면체·원기둥·원뿔·구 등의 부피와 겉넓이를 계산하는 도구입니다.
계산 기준
원기둥 V = πr²h / 원뿔 V = πr²h÷3
구 V = (4/3)πr³, 겉넓이 S = 4πr²
단계별 계산 예제
반지름 5cm인 구의 부피와 겉넓이는?
- 1단계 부피 공식: V = (4/3)πr³ = (4/3)×π×125
- 2단계 계산: ≈ 523.6㎤
- 3단계 겉넓이: S = 4πr² = 4×π×25 ≈ 314.2㎠
결과 해석: 구는 같은 부피를 가진 도형 중 겉넓이가 가장 작은 형태입니다.
원뿔이 원기둥의 정확히 1/3인 이유
밑면과 높이가 같은 원뿔에 물을 채워 원기둥에 부으면 정확히 세 번에 찹니다. 아르키메데스는 이걸 실진법으로 증명했고, 자기 무덤에 구와 원기둥을 새겨달라 했습니다 — 구의 부피와 겉넓이가 모두 원기둥의 정확히 2/3이라는 발견이 가장 자랑스러웠기 때문입니다.
알아두면 좋은 이야기
- 크기가 커지면 부피가 넓이보다 훨씬 빨리 늡니다. 길이가 2배면 겉넓이는 4배, 부피는 8배입니다. 큰 동물일수록 체중 대비 표면적이 작아 열을 덜 잃습니다.
- 코끼리 다리가 통나무처럼 굵은 것도 이 때문입니다. 체중은 세제곱으로 느는데 뼈 단면은 제곱으로만 늡니다.
- 거인이 존재할 수 없는 이유도 같습니다. 사람을 10배로 키우면 무게는 1,000배인데 뼈 단면은 100배라 부서집니다.
- 구가 같은 부피에서 겉넓이가 가장 작습니다. 물방울, 행성이 구형인 이유입니다.
- 물류에서 부피 대비 표면적이 포장비를 좌우합니다. 정육면체에 가까울수록 재료가 적게 듭니다.
자주 묻는 질문
Q. 원뿔 부피가 왜 1/3인가요?
높이에 따라 단면적이 제곱으로 줄어들기 때문입니다. 적분하면 정확히 1/3이 나옵니다.
Q. 구의 겉넓이는 어떻게 외우나요?
S=4πr²입니다. 같은 반지름 원 넓이(πr²)의 정확히 4배로 기억하면 쉽습니다.
Q. 겉넓이와 부피 중 뭐가 크기에 민감한가요?
부피입니다. 부피는 세제곱, 겉넓이는 제곱에 비례합니다.