벡터 계산기란
벡터 계산기는 벡터의 덧셈·뺄셈, 내적·외적, 크기와 방향을 계산하는 도구입니다.
계산 기준
크기 |v| = √(x² + y² + z²)
내적 a·b = |a||b|cosθ(결과: 스칼라)
외적 a×b(결과: 벡터)
단계별 계산 예제
벡터 a=(3,4), b=(1,2)의 내적은?
- 1단계 공식 적용: a·b = a₁b₁ + a₂b₂
- 2단계 계산: (3×1) + (4×2) = 3+8
- 3단계 결과: 11
결과 해석: 내적이 0보다 크므로 두 벡터 사이의 각도는 90° 미만(같은 쪽 방향)입니다.
스칼라와 벡터
크기만 있으면 스칼라, 방향까지 있으면 벡터입니다. "시속 60km"는 속력(스칼라)이지만 "북쪽으로 시속 60km"는 속도(벡터)입니다. 방향이 다르면 더한 결과가 완전히 달라지기 때문에 물리에서 이 구분이 중요합니다.
알아두면 좋은 이야기
- 내적은 "얼마나 같은 방향인가"를 잽니다. 수직이면 0이 됩니다. 일(Work)=힘·거리가 내적인 이유이기도 합니다.
- 외적은 두 벡터에 동시에 수직인 벡터를 만듭니다. 방향은 오른손 법칙으로 정하며, 토크·자기력이 외적입니다.
- 벡터는 3차원 게임과 그래픽스의 언어입니다. GPU는 이걸 대량으로 빠르게 하려고 만들어진 칩입니다.
- 비행기가 옆바람을 맞으면 기수를 바람 쪽으로 틀어야 직선으로 갑니다. 비행 속도와 바람 벡터의 합이 실제 진행 방향입니다.
- 벡터 개념은 19세기 해밀턴의 사원수 연구에서 갈라져 나왔습니다.
자주 묻는 질문
Q. 내적과 외적은 결과가 어떻게 다른가요?
내적은 숫자(스칼라), 외적은 벡터가 나옵니다. 외적은 3차원에서만 정의됩니다.
Q. 내적이 0이면 무슨 뜻인가요?
두 벡터가 서로 수직이라는 뜻입니다.
Q. 단위벡터는 뭔가요?
크기가 1인 벡터로, 방향만 나타냅니다.